前言

记不住准备进厂

积分换元方法

第一类换元法（凑微分）

凑微分没啥说的，记住如下基本可以走遍凑微分

除此以外都是以下内容都是第二类换元法，篇幅原因就不放了

三角代换

三角代换的核心就是俩公式（这部分内容在数学常识），也可以说是原理，左右可以变形

三角代换的目的就是去掉根式，转换为关于三角函数的积分

以下是常见的三种情况，代换时切记把$dx$换成对应的$dt$！

• 含有$\sqrt{a^2-x^2}$：令$x=a\sin{t}$，也可以$x=a\cos{t}$，则$t=\arcsin{\frac{x}{a}}$或$t=\arccos{\frac{x}{a}}$

则原式$\sqrt{a^2-x^2} =\sqrt{a^2-(a\sin{t})^2} =\sqrt{a^2(1-\sin^2{t})} =a\sqrt{1-\sin^2{t}} =a\sqrt{\cos^2{t}} =a\cos{t}$

同时$dx=d(a\sin{t})=a\cos{t}dt$

• 含有$\sqrt{a^2+x^2}$：令$x=a\tan{t}$，则$t=\arctan{\frac{x}{a}}$

则原式$\sqrt{a^2+x^2} =\sqrt{a^2+(a\tan{t})^2} =\sqrt{a^2(1+\tan^2{t})} =a\sqrt{1+\tan^2{t}} =a\sqrt{\sec^2{t}} =a\sec{t}$

同时$dx=d(a\tan{t})=a\sec^2{t}dt$

• 含有$\sqrt{x^2-a^2}$：令$x=a\sec{t}$，则$t=\operatorname{arcsec}(\frac{x}{a})$

则原式$\sqrt{x^2-a^2} =\sqrt{(a\sec{t})^2-a^2} =\sqrt{a^2(\sec^2{t}-1)} =a\sqrt{\sec^2{t}-1} =a\sqrt{\tan^2{t}} =a\tan{t}$

同时$dx=d(a\sec{t})=a\sec{t}\tan{t}dt$

根式代换

根式代换的目的也是去掉根式，简化运算，转换为常见的表达式

做法如下：

对于含有$\sqrt[n]{ax+b}$的函数

1. 令$t=\sqrt[n]{ax+b}$，则$x=\frac{t^n-b}{a}$

2. 计算$dx=d\frac{t^n-b}{a}=\frac{nt^{n-1}}{a}dt$

3. 将上述代入原式，得到关于$t$的积分

分部积分法

使用分部积分法的目的是把一些没办法凑的函数（如反函数）移动到$dx$的位置，通过求导转化掉

不定积分和定积分的分部积分法公式如下：

做法如下：

法则“反对幂三指”，即反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数

$u$的选择的优先级是：从左往后

$v$的选择的优先级是：从右往左

优先确定$v$部分，把$\int ug(x)dx$转化为$\int udv$，即凑微分

牛顿-莱布尼茨公式

用于计算定积分

变限积分

变上限积分$\int_{a}^{x} f(t)dt$

变下限积分$\int_{x}^{b} f(t)dt$

变下限积分可以转换为变上限积分，交换上下并加个负号

变限积分$\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt$

对于变限积分，加个负号可以交换上下限

注意：若上限趋于下限或下限趋于上限，该积分结果为0

变限积分求导

常数求导是0，所以变上限、变下限积分计算时只需要算一项，但注意上下限，会影响正负

• 对于变上限积分，求导则结果则为$若F(x)=\int_{C}^{u(x)} f(t) \mathrm{d}t，则F^{\prime}(x)=f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)$

• 对于变下限积分，求导则结果则为$若F(x)=\int_{u(x)}^{C} f(t) \mathrm{d}t，则F^{\prime}(x)=-f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)$

体积面积问题

一般情况下，都是需要进行减法才能求到阴影面积，所以仔细看图，注意位置

围成区域面积

围成面积：$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$

旋转体体积问题

绕x轴旋转：$V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$

绕y轴旋转：$V=\pi\int_{c}^{d}[g(y)]^{2}dy$

绕y轴旋转（圆柱壳法）：$V = 2\pi\int_{a}^{b}x\cdot f(x)dx$

二重积分

先对x积分再对y积分，和先对y再对x在结果上没有区别，但是存在算不出来的可能性

一重积分和二重积分算面积的区别：一重积分算普通图像（x轴、y轴、曲线围成），二重积分算复杂图形（四周弯弯扭扭围成）

重积分想用文字和图片表达相当复杂，丢个视频在这吧，但愿作者不要删视频，视频链接

极坐标系

高中概念，我作为中专生不知道很正常

极坐标系$(r,\theta)$

$r$：表示点到原点的距离

$\theta$：极角，从极轴抬起的角度（极轴就是直角坐标系x轴正半轴）

$\arctan(斜率k)$=斜率的角度

下面有例题，可以参考

转换核心操作：

转换步骤：

1. 把$(x,y)$分别替换成$(r\cos\theta,r\sin\theta)$代入原来的一切式子

2. 把图画出来

3. 先确定$\theta$，即两个抬升的角度

4. 再确定$r$，在两个角度之间发射一条射线，先碰到的在下限，后碰到在上限

5. 替换$dxdy$为$rdrd\theta$

经典题目

变限积分+分段函数

1. 确定积分范围以及其涉及的分段函数范围

反常积分+分部积分法+分式分解（裂项）+抓大头

这题真是极品，要素齐全了，一步一步看：

1. 分部积分法，把$x^2$移后面去

2. 分式分解，看到$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+x^2}$这样的式子，首先考虑裂项，待定系数法

3. $\lim_{x \to +\infty} \ln\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$抓大头，等于$\ln1=0$

定积分+配方+换元

定积分大题经典案例之一，不过这题没有用分部积分法

1. 配方，配方的目的是为了更好的换元

2. 根据换元规则进行换元，定积分上下限也要换

这里写错了，$\cos^2t=\frac{1+\cos{2t}}{2}$，因此下面积分结果也应该是$\frac{1}{4}\sin{2t}$，虽然不影响结果，但是也应该注意，低级错误

面积定积分+配方+换元

• 等式两边可以同时积分

• 定积分是一个常数

• 圆的方程可以配方

常微分方程+旋转体体积

最后一道大题常见考法，第一问常微分方程，第二问旋转体体积

分部积分法+换元

• 积分内看见$\ln$，直接分部积分法消除

• 注意$\sin^2x$不仅可以$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$还可以$\sin^2x=1-\cos^2x$

$e^x$换元

用$t=e^x$换元请注意：

• 分子分母比较干净，不能包含$x$

• 用此方法换元的目的是为了简化式子

极坐标转换

区域为圆形或者积分内存在$\sqrt{x^2+y^2}$优先使用极坐标方法

1. $\begin{cases} x=r\cos{x} \\ y=r\sin{x} \end{cases}$代入原式，求出积分和面积的极坐标形式

2. 画图看角度和距离

3. $dxdy$替换为$rdrd\theta$（注意多个$r$）