前言

东西又多又杂（其实也没那么多，主要是杂），考得题目又少，性价比极低

必须得记住

正项级数

正项级数收敛即绝对收敛，不存在条件收敛，这依然是弱智问题

P级数

等比级数

比较判别法

常用于判断长的像P级数的级数

小发散->大发散

大收敛->小收敛

做法如下：

1. 构造一个类似于需要比较的级数的级数，例如\frac{1}{n^2+1}，则构造\frac{1}{n^2}

2. 代入上述公式判断其大小以及敛散性

比值判别法

常用于判断n^n,n^2,2^n,n!的敛散性

根式判别法

待补充

交错级数

交错级数通常就是正负交替的

特征类似于(-1)^n

莱布尼兹准则

一般用于判断交错的级数的敛散性

形如\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}a_{n}的交错级数

如果满足以下两个条件：

1. a_{n}\geq a_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)即数列\{a_n\}单调递减

2. \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} = 0

那么该级数收敛

绝对收敛和条件收敛

如果原级数发散，加绝对值后一定发散，这种弱智问题我考虑过了

如果原级数加上绝对值是收敛的，那原级数一定是收敛的，这也是个弱智问题

绝对收敛就是原级数加上绝对值收敛并且原级数收敛，只需要辨别加绝对值的级数即可判断

条件收敛就是原级数收敛，但是加上绝对值是发散的

快速做法如下（优先排除绝对收敛）：

1. 给原级数加上绝对值，判断是否收敛，若收敛，即绝对收敛；若发散，则继续下一步

2. 通过莱布尼兹准则判断原级数敛散性

幂级数

形如\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}(x - x_{0})^{n}，其中x_0为常数，可以是0

幂级数一般求三个玩意：收敛半径、收敛区间、收敛域

收敛半径、收敛区间、收敛域

1. 求收敛半径，R = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\vert a_{n}\vert}{\vert a_{n + 1}\vert}

2. 求收敛区间，\vert x-x_0\vert < R即-R < x < R

3. 判断端点x = \pm R的收敛情况，即开闭情况，从而确定收敛域

典型例题

条件收敛+等比级数+P级数+比较判别法

1. 判断绝对值级数敛散性，确保绝对值级数是发散的再继续

2. 通过莱布尼兹准则判断原级数敛散性

幂级数+收敛半径+收敛区间+收敛域

这题要素全了，基本幂级数考察的玩意都在这里了

1. 区分a_n和(x-x_0)^n

2. 算出收敛半径R = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\vert a_{n}\vert}{\vert a_{n + 1}\vert}

3. 算收敛区间\vert x-x_0\vert < R

4. 根据两端情况判断区间开闭，即收敛为闭区间，发散是开区间

P级数+等比级数+比值判别法+比较判别法

莱布尼兹准则+等比级数