前言
东西又多又杂（其实也没那么多，主要是杂），考得题目又少，性价比极低
必须得记住
正项级数
正项级数收敛即绝对收敛，不存在条件收敛，这依然是弱智问题
P级数
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
\\
当p > 1时，P级数收敛
\\
当p\leqslant1时，P级数发散
等比级数
\sum_{n = 1}^{\infty}aq^{n - 1}
\\
当\vert q\vert < 1时，等比级数收敛
\\
当\vert q\vert\geqslant1时，等比级数发散
比较判别法
常用于判断长的像P级数的级数
小发散->大发散
大收敛->小收敛
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n}}{v_{n}} =
\begin{cases}
0 \quad u_n<v_n
\\
\infty \quad u_n>v_n
\\
C \ne 0 \quad u_n,v_n同敛散
\end{cases}
比值判别法
常用于判断n^n,n^2,2^n,n!的敛散性
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =p
\begin{cases}
p>1\quad 发散
\\
p<1\quad 收敛
\\
p=1 \quad 无效
\end{cases}
根式判别法
待补充
交错级数
交错级数通常就是正负交替的
特征类似于(-1)^n
莱布尼兹准则
一般用于判断交错的级数的敛散性
形如\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}a_{n}的交错级数
如果满足以下两个条件：
a_{n}\geq a_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)即数列\{a_n\}单调递减
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} = 0
那么该级数收敛
绝对收敛和条件收敛
如果原级数发散，加绝对值后一定发散，这种弱智问题我考虑过了
如果原级数加上绝对值是收敛的，那原级数一定是收敛的，这也是个弱智问题
绝对收敛和条件收敛，原级数都是收敛的，区别是加绝对值的情况
若\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert收敛，则\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}绝对收敛
若\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}收敛且\sum_{n = 1}^{\infty}\vert a_{n}\vert发散，则\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}条件收敛
幂级数
形如\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}(x - x_{0})^{n}，其中x_0为常数，可以是0
幂级数一般求三个玩意：收敛半径、收敛区间、收敛域
收敛半径、收敛区间、收敛域
求收敛半径，R = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\vert a_{n}\vert}{\vert a_{n + 1}\vert}
求收敛区间，\vert x-x_0\vert < R即-R < x < R
判断端点x = \pm R的收敛情况，即开闭情况，从而确定收敛域