前言

导数什么含金量就不说了，重中之重！

你必须得会的

导数定义

单调区间和极值

极值是局部性质，并不是说最大值和最小值

驻点：函数一阶导等于0的点

极大值点：左边增区间、右边减区间

极小值点：左边减区间、右边增区间

驻点和极值点在原函数上必须有定义

解题步骤：

1. 看原函数定义域取值范围（驻点和极值点都在定义域内）

2. 求一阶导等于0和一阶不可导的点

3. 求这些点的左右区间单调性，判断是否为极值点

判断单调性：

$\begin{cases} f\prime(x)>0\quad单调递增 \\ f\prime(x)<0\quad单调递减 \end{cases}$

凹凸区间和拐点

上图左凸右凹，仅供参考

切记对于一个点来说不存在凹凸性，对某点求二阶导也只是求出其周围某块的区域的凹凸性

在俩拐点之间或者一个拐点一侧，凹凸性正常不会发生改变

判断方法：

若在$(a,b)$内$f\prime\prime(x)>0$，则$f(x)$在$(a,b)$上的图像是凹的

若在$(a,b)$内$f\prime\prime(x)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$上的图像是凸的

拐点

拐点就是凹凸性发生改变的点

判断方法：

1. 先对函数求二阶导

2. 找出二阶导为零和二阶导不存在的点

3. 判断这些点左右区间的凹凸性，即看二阶导的正负

切记拐点必须在原函数上取得到！

多元函数偏导数

多元函数偏导数基本是考察链式法则，所以这里顺便讲一下链式法则

上面这个公式比较抽象，简而言之就是把函数对每一个中间变量求导再乘上该中间变量对特定变量求导的和

通常会遇到如下的抽象函数（我愿称之为匿名函数），计算结果如下：

多元函数全微分

按照如下做法就行，三元函数以此类推

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

这里的$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$是偏导数，参考上面

多元函数极值

无条件极值

如果是选择题，慎重考虑带选项进去算的情况，需要算驻点

条件极值

典型例题

极限+导数定义

1. 极限有值，分母为0，分子也为0

2. 凑导数定义$f\prime(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$

多元函数全微分+偏导数+隐函数

1. 题目给定坐标，求出对应的$z$

2. 分别求对$x$、$y$的偏导数

3. 带入$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

单调区间+极值+凹凸区间+拐点

• 极值点和单调区间是一阶导

• 拐点和凹凸区间是二阶导

极值点和拐点都是先找等于0或不可导的点，然后再通过区间判断

$\begin{cases} f\prime(x)>0\quad增区间 \\ f\prime(x)<0\quad减区间 \end{cases}$$\begin{cases} f\prime\prime(x)>0\quad凹区间 \\ f\prime\prime(x)<0\quad凸区间 \end{cases}$在两个极值点or拐点之间，可以参考左边的公式

导数定义

在某点可导，想到左导数等于右导数，想到导数定义

链式法则

非常简单的题目，注意左右同时求导和链式法则

偏导数+隐函数

题目大同小异，和上面的一道题目类似，注意化简，二阶偏导中出现一阶偏导要代入

多元函数偏导数