前言

这部分内容其实和无穷级数差不多，考得少但必考，内容也不是很多

总归得学点什么吧

微分方程

阶：最高阶导数的阶数

通解：常数如C_1,C_2的个数等于阶数

特解：不含有任何常数的解

注意：只有在特定条件下的一阶线性微分方程和二阶常系数非齐次微分方程才有特解，二阶常系数齐次微分方程只有通解

求解一阶线性微分方程

可分离型微分方程

形如\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)注：\frac{dy}{dx}=y\prime

做法如下：

进行分离，化为\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx，然后两边同时积分\int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx，即可算出通解

适用于单侧是一阶导，另一侧是x和y的乘积的方程

思想就是要把y和x剥得干干净净的，如果不行就采取其他做法

\frac{y}{x}型微分方程

形如\frac{dy}{dx} = g(\frac{y}{x})注：\frac{dy}{dx}=y\prime

做法如下：

1. 先写：令u=\frac{y}{x}，则y=ux，\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u

2. 替换原方程的\frac{y}{x}，\frac{dy}{dx}

3. 根据可分离型微分方程的做法解除u关于x的通解

4. 最后代入u=\frac{y}{x}

原题目可能不是标准的\frac{y}{x}，需要通过等式同除以x或x^2来实现

公式法

形如\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)注：\frac{dy}{dx}=y\prime

通解公式：y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)

非常粗暴，公式需要背，形式一样直接代就可以

求解二阶常系数齐次微分方程

形如y\prime\prime+py\prime+qy=0

做法如下：

1. 根据原方程写出特征方程r^2+pr+q=0，原方程的y\prime\prime,y\prime,y分别对应r^2,r,r^0，这里的p,q为原方程对应位置的系数

2. 解出根判断通解类型，请用求根公式r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}（这是初中知识，不会可以直接进厂）

3. 按照下表得出通解

共轭复根是高中的知识，不会的来和我一起读中专吧

求解二阶常系数非齐次微分方程

形如y\prime\prime+py\prime+qy=f(x)

f(x)=P_n(x)e^{\lambda x}\quad(P_n(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n,\lambda\in R)

求解非齐次只需要算出齐次的通解\widetilde{y}和特解y^*，即非齐次通解y=\widetilde{y}+y^*

做法如下：

1. 先算出齐次形式的通解，做法在上面，得到\widetilde{y}

2. 设出待定特解y^*代入原方程(y^*)\prime\prime+p(y^*)\prime+q(y^*)=f(x)这里二阶和一阶导要自己算一下

3. 利用待定系数法求出待定特解y^*

4. 整合y=\widetilde{y}+y^*

待定特解的设法：

y^*=第一部分\times第二部分\times第三部分

第一部分：\begin{cases} r_1 \ne r_2 \ne \lambda \Rightarrow x^0 \\ r_1,r_2=\lambda\quad \Rightarrow x^1 \\ r_1=r_2=\lambda \Rightarrow x^2 \end{cases}

第二部分：通过P_n(x)判断\begin{cases} 包含x^0 \Rightarrow a \\ 包含x^1 \Rightarrow ax+b \\ 包含x^2 \Rightarrow ax^2+bx+c \\ 包含x^3 \Rightarrow ax^3+bx^2+cx+d \end{cases}

第三部分：照抄f(x)=P_n(x)e^{\lambda x}中的e^{\lambda x}