前言
不知道写啥，留个位置
嘎嘎背就完事了
两个重要极限
第二个重要极限有两种形式
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1
\\
\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e
\\
\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e
等价无穷小
请记住只有x趋于0的时候才能等价无穷小替换
\sin x \sim \tan x \sim arcsin x \sim e^x-1 \sim ln(1+x) \sim x
1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}
\\
a^{x} - 1 \sim x\ln a \quad (a > 0,a \neq 1)
\\
(1 + x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x \quad (\alpha \neq 0\text{ 为常数})
\\
\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a} \quad (a > 0,a \neq 1)
无穷小的比较
如果\lim\frac{\alpha}{\beta}=0，就说\alpha是比\beta高阶的无穷小
如果\lim\frac{\alpha}{\beta}=\infty，就说\alpha是比\beta低阶的无穷小
如果\lim\frac{\alpha}{\beta}=c\neq0，则称\alpha与\beta是同阶无穷小
如果lim\frac{\alpha}{\beta}=1，则称\alpha与\beta是等价无穷小
间断点
间断点分两类：第一类间断点、第二类间断点
第一类间断点
可去间断点
左右极限存在且相同，要么在此点函数没定义，要么在此点函数值与极限值不同
跳跃间断点
左右极限都存在但不相等
第二类间断点
无穷间断点
在某点单侧极限无穷大
震荡间断点
在接近该点时不断震荡
渐近线
这里只讨论水平渐近线和垂直渐近线
水平渐近线
设y=f(x)，若\lim_{x \to +\infty} f(x) = A_1或\lim_{x \to -\infty} f(x) = A_2，则y=A_1或y=A_2是曲线的水平渐近线
人话就是这个曲线趋于正无穷或者负无穷的值，y等于这个值就是水平渐近线
水平渐近线可能存在0到2条
垂直渐近线
设y=f(x)，若\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty或\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty，则x=x_0是曲线的垂直渐近线
人话就是这个曲线极限是无穷的这个点，x等于这个点就是垂直渐近线
垂直渐近线可能存在0到无数条